1次元の分数階Zener波動方程式

「1次元の分数階Zener波動方程式」を読む (github.io)

1次元の分数階Zener波動方程式 (fractional Zener model wave equation) のシミュレーションです。パラメータの組み合わせによっては発散します。

分数階Zener波動方程式はHolmとNäsholmによる "A causal and fractional all-frequency wave equation for lossy media" で紹介されていました。

分数階微分で1次元の熱伝導-波動方程式

「分数階微分で1次元の熱伝導-波動方程式」を読む (github.io)

分数階微分を使って1次元の熱伝導方程式と波動方程式をくっつけました。

Implicit FDMとGrünwald-Letnikovの分数階微分を組み合わせて離散化したのですが、パラメータによっては発散することがあります。

分数階微積分の数値計算

「 分数階微積分の数値計算」を読む (github.io)

分数階微積分をGrünwald–Letnikovの定義を使って数値計算します。画像は今回の数値計算に使った分数階微分と分数階積分の式です。

分数階微積分が物理的にどういう意味を持つのかはよくわかりませんが、波動方程式への応用が提案されています。

ギブス現象を抑える

「ギブス現象を抑える」を読む (github.io)

GottleibとShuの論文 "ON THE GIBBS PHENOMENON AND ITS RESOLUTION" を基にギブス現象を抑える方法を試しました。

ギブス現象が発生している信号からGegenbauer polynomialの係数を取り出して再合成するという方法です。再合成する区間に不連続な部分が含まれていると上手くいかないので、実際に使うときは信号を不連続な部分で区切って分割する必要があります。

Implicit FDM を用いた1次元の波のシミュレーション

 「Implicit FDM を用いた1次元の波のシミュレーション」を読む (github.io)

前回のシミュレーション では Explicit FDM を用いていたので、パラメータの値によっては発散するという問題がありました。 Implicit FDM を使えば計算コストと引き換えに発散しなくなります。

動画は前回と今回のシミュレーションの比較です。左が Implicit FDM 、右が Explicit FDM です。

1次元の波のシミュレーション

「1次元の波のシミュレーション」を読む (github.io)

1次元の波のシミュレーションについてまとめました。

以前に波をシミュレーションしたときは、時間や長さといったパラメータについては適当でした。今回はパラメータの設定を行いたかったので、波動方程式から有限差分法で離散化する手順について調べました。